統合自然4期院試対策のページ

解答案を載せていきましょう。

平成29年度

物理(3)Ⅰ-Ⅲ

Ⅲ磁石の回転

平成28年度

平成27年度

物理(3) Ⅰ-Ⅱ

Ⅱ点電荷が作るポテンシャルと電場

平成26年度

問題の概要

鎖状ポリヌクレオチドの水素結合を題材にした問題

Ⅰ.熱力学

(1) Helmholtzの自由エネルギーの全微分形は
$dF=-SdT-pdV$・・・①
と表される。ここで、$-pdV$は外力のする仕事を表しており、この系においてはそれが$XdR$で表されると問題文中にあるので、
$dF(T,R)=-S(T,R)dT+X(T,Ra)dR$
となる。

(2)①より、
$X(T,R)={\frac {\partial F(T,R)}{\partial R}}$

(3)
内部エネルギー$U(T,R)$に対して全微分形
$dU=TdS+XdR$
が成り立つ。
両辺を$T$一定条件下で$R$で微分すると、
$\left({\frac {\partial U(S,T)}{\partial R}}\right)_{T}=X+T\left({\frac {\partial S}{\partial R}}\right)_{T}$・・・②
となる（温度一定の条件のため）。
ここで、 ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial T\partial R}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial R\partial T}}$
①より、
$\left({\frac {\partial X}{\partial T}}\right)_{R}=-\left({\frac {\partial S}{\partial R}}\right)_{T}$
が成立する。
これを②に代入して
$\left({\frac {\partial U}{\partial R}}\right)_{T}=X-T\left({\frac {\partial X}{\partial T}}\right)_{R}$
が得られる。

(4)
内部エネルギー$U$を$T$と$R$の関数として
$\left({\frac {\partial U}{\partial R}}\right)_{T}$・・・③ と $\left({\frac {\partial U}{\partial R}}\right)_{S}$・・・④ を比較する。
③は等温変化、④は断熱変化である。
③は(3)の結果と$X(T,R)$の表式より、
$\left({\frac {\partial U}{\partial R}}\right)_{T}=A\left(1-{\frac {T}{T_{C}}}\right)-T\left(-{\frac {A}{T_{C}}}\right)=A$・・・⑤
となる。
一方、断熱過程では

$dU=dQ+XdR=XdR$
が成り立つことから④は
$\left({\frac {\partial U}{\partial R}}\right)_{S}=X=A\left(1-{\frac {T}{T_{C}}}\right)$・・・⑥

となる。⑤、⑥より
$\left({\frac {\partial U}{\partial R}}\right)_{T}>\left({\frac {\partial U}{\partial R}}\right)_{S}$
が成り立つが、$C_{R}=Const.>0$よりこのことから断熱的に引っ張るとき温度は下がることがわかる。